Question

如图，设点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积为．

（1）求点的轨迹方程；

（2）设点的轨迹为，点是轨迹为上不同于的两点，且满足，求证：的面积为定值．

Answer

（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）直接法求动点轨迹方程：先设动点坐标，根据条件斜率之积为列方程：，化简整理得标准方程，注意变形过程中的等价性，即纯粹性（2）解决解析几何中定值问题，一般方法为以算代证，即计算出的面积，由平行条件得斜率关系：由得，即得坐标关系；设直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得，代入可得，而三角形面积可表示为，将代入化简得

试题解析：（1）由已知设点的坐标为，由题意知

，

化简得的轨迹方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）证明：由题意是椭圆上非顶点的两点，且，

则直线斜率必存在且不为0，又由已知．

因为，所以．．．．．．．．．．．．．．．6分

设直线的方程为，代入椭圆方程，得

．．．．①，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

设的坐标分别为，则．．．．．．．．．．．．8分

又，．．．．．．．．．．．．．．．．9分

所以，得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分

又，

所以，即的面积为定值．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

考点：直接法求动点轨迹方程，圆锥曲线中定值问题

【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.