Question

如图，在四棱锥中平面，且，

．

（1）求证：；

（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为45°，如果存在，求与平面所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）详见解析（2）是线段的中点，

【解析】

试题分析：（1）证明线线垂直，一般利用线面垂直性质定理，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，需要利用线面垂直判定定理：先根据平几知识寻找线线垂直，如由等腰三角形性质得，又由条件平面，得线线垂直：，这样就转化为线面垂直平面，即得（2）研究二面角大小，一般利用空间向量比较直接：先根据题意建立恰当的直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求各面法向量，根据向量数量积求两法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系列方程组，解出点坐标，确定点位置，再利用线面角与向量夹角互余关系求与平面所成角的正弦值

试题解析：

（1）证明：

如图，由已知得四边形是直角梯形，

由已知，

可得是等腰直角三角形，即，

又平面，则，所以平面，所以．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）存在． 法一：（猜证法）

观察图形特点，点可能是线段的中点，

下面证明当是线段的中点时，二面角的大小为45°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

过点作于，则，则平面．

过点作于，连接，

则是二面角的平面角，

因为是线段的中点，则，在四边形求得，则．

在三棱锥中，可得，设点到平面的距离是，，

则，解得

在中，可得，

设与平面所成的角为，则．

法二：（作图法）

过点作于，则，则平面，

过点作于，连接，则是二面角的平面角．

若，则，又，易求得，

即是线段的中点．．．

（以下同解法一）

法三：（向量计算法）

建立如图所示空间直角坐标系，

则．

设，则的坐标为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

设是平面的一个法向量，则

，得，则可取．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

又是平面的一个法向量，

所以，

此时平面的一个法向量可取，

与平面所成的角为，则．．．．．．．．．．．．．．12分

考点：线面垂直性质与判定定理，利用空间向量研究二面角及线面角

【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.