Question

已知函数，其中.

（I）若，且当时，总成立，求实数的取值范围；

（II）若存在两个极值点，求证：.

Answer

(I)；(II)证明见解析.

【解析】

试题分析：(I)借助题设条件运用分类整合的数学思想求解；(II)借助题设运用导数的知识及基本不等式的分析推证.

试题解析：

（I），因为在有意义，所以，

若，则，，所以，

若，则，

当时，，

若时，在上为减函数，在上为增函数，，不成立，

综上，.............................................................5分

（II），，因为有两个极值点，所以，因此，

令，极值点为方程的两个根，，

又，

注意到，，

所以，

注意到，所以.

考点：导数与函数的单调性之间的关系等有关知识的综合运用.

【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数的函数解析式为背景,精心设置了三个问题,旨在考查导数知识与函数单调性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力.本题的第一问是在不等式恒成立的前提下,求参数的取值范围问题,求解时分类对函数求导,通过求最值分析求出参数的取值范围;第二问则借助导函数的零点得到，进而求得,为基本不等式的运用创造条件基本不等式的灵活运用,从而使得不等式简捷巧妙获证.