Question

已知抛物线的方程为抛物线上一点，为抛物线的焦点.

（I）求；

（II）设直线与抛物线有唯一公共点，且与直线相交于点，试问，在坐标平面内是否存在点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.

Answer

(I)；(II)存在，.

【解析】

试题分析：(I)借助题设条件运用抛物线的定义求解；(II)借助题设运用直线与抛物线的位置关系及向量的数量积探求.

试题解析：

（I）由题可知，即，由抛物线的定义可知............4分

（II）法1：由关于轴对称可知，若存在点，使得以为直径的圆恒过点，则点必在轴上，设，又设点，由直线与曲线有唯一公共点知，直线与相切由得.

，直线的方程为，

令得，点坐标为，，

点在以为直径的圆上，

要使方程恒成立，必须有，解得.

在坐标平面内存在点，使得以为直径的圆恒过点，其坐标为..................12分

法2：设点，由与曲线有唯一公共点知，直线与相切，

由得.直线的方程为，

令得，点坐标为，

以为直径的圆的方程为： ①

分别令和，由点在曲线上得，

将的值分别代入①得： ②

③

②③联立得或.

在坐标平面内若存在点，使得以为直径的圆恒过点，则点必为或，将的坐标代入①式得，

左边==右边，

将的坐标代入①式得，左边=不恒等于0，

在坐标平面内若存在点，使得以为直径的圆恒过点，则点的坐标为.........12分

考点：直线的方程、抛物线定义及标准方程等有关知识的综合运用.

【易错点晴】本题是一道考查直线与抛物线的位置关系的综合问题.解答本题的第一问时,直接依据题设条件运用和抛物线的定义,求得;第二问的求解过程中,先设点,再利用直线与抛物线相切求得直线的方程为,进而求得点点坐标为，然后再借助以为直径的圆恒过点,最后探求出点的坐标为,使得问题获解.本题对运算求解能力和推理论证能力的要求较高.