Question

已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）是否存在实数，使函数在上有最小值2？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

Answer

(1)减区间为，增区间为；(2)存在，最小值是.

【解析】

试题分析：(1)借助题设条件运用导数的有关知识求解；(2)借助题设运用导数知识分类探求.

试题解析：

（1），，

，

令，得，

令，得，

的单调递减区间为，单调递增区间为.………………………………4分

（2），

，

（i）当，恒成立，即在上单调递增，无最小值，不满足题意.

（ii）当，令，得，

所以当时，，当时，，

此时在上单调递减，在上单调递增.

若，则函数在上的最小值，

由得，满足，符合题意；

若，则函数在上的最小值，

由得，不满足，不符合题意，舍.

综上可知，存在实数，使函数在上有最小值2.………………………………12分

考点：导数与函数的单调性的关系及分类整合思想等有关知识和方法的综合运用.

【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问是直接借助导数与函数的单调性之间的关系解不等式而获解;第二问则依据导数与函数的单调性之间的关系,运用分类整合思想进行分析探求,从而使得问题简捷巧妙获解.