Question

定圆，动圆过点且与圆相切，记圆心的轨迹为.

（1）求轨迹的方程；

（2）设直线与交于两点，点关于轴的对称点为（与不重合），则直线与轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由.

Answer

(1)；(2)是，定点为，证明见解析.

【解析】

试题分析：(1)借助题设条件运用椭圆的定义求解；(2)借助题设运用直线与椭圆的位置关系探求.

试题解析：

（1）因为点在圆内，

所以圆内切于圆，因为，所以点的轨迹为椭圆，

且，所以，所以轨迹的方程为；

（2）由消去得：，

设，，则，则，，

经过点，的直线方程为，

令，则

又，，故当时，

，

即直线与轴交于定点.

考点：椭圆的定义标准方程及直线与椭圆的位置关系等有关知识的综合运用.

【易错点晴】本题考查的是运用椭圆的定义求方程的问题和直线与椭圆的位置关系的处置问题.解答本题的第一问时如果不按圆锥曲线的定义求解,其解答过程会较为繁冗,而且还容易出错,因此在解答这类问题时首先要充分理解题意,寻求最为简捷的解答路径,以便达到化繁为简、避难前进的求解之目的.本题的第二问则借助直线与椭圆的位置关系分析探究,从而推证出直线与轴交于定点,从而巧妙地使问题获解.