Question

如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.

（1）证明：；

（2）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值.

Answer

(1)证明见解析；(2).

【解析】

试题分析：(1)借助题设条件建立空间直角坐标系运用向量的数量积公式推证；(2)借助题设建立空间直角坐标系运用向量的数量积公式探求.

试题解析：

（1）底面，，

以分别为轴为正方向建立空间直角坐标系，

向量，向量，故，所以；

（2）向量，，，，

由点在棱上，设，

设，

由得，因此，解得.

即，设为平面的法向量，则，

即，不妨令，可得为平面的一个法向量.

取平面的法向量为，

则，易知，二面角是锐角，所以其余弦值为.

考点：向量的数量积公式等有关知识的综合运用.