Question

已知函数.

（1）求在上的最小值；

（2）若存在两个不同的实数，使得，求证：.

Answer

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）对进行求导，得到其单调性，在上单调递减，在上单调递增，对导函数的零点与所给区间的关系进行讨论，即分为，和三种情形，根据单调性求得最值；（2）令，易得当时，，设，，故，根据单调性得证.

试题解析：（1）根据题意，得，当时，；当时.

故在上单调递减，在上单调递增.

当，即时，在上单调递减，；

当，即时，；

当时，在上单调递增，.

所以.

（2）构造函数，

则.

因为，所以，函数单调递增，

所以，

所以在区间上，所以在区间上单调递增，

所以，所以当时，.

根据（1）中的性质，若存在两个不同的实数，使得，不妨设，则一定有，，当时，，

所以，

因为在上单调递增，所以，.

考点：（1）利用导数研究函数的单调性；（2）对称性在函数中的应用.