Question

在如图所示的多面体中，四边形为平行四边形，为的中点，为等腰直角三角形，为斜边，为正三角形，.

（1）证明：；

（2）求四面体的体积.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）结合勾股定理得平面，故；（2）连接，利用割体思想得：

得解.

试题解析：（1）因为为等腰直角三角形，为斜边，所以.

因为三角形为正三角形，所以,

在三角形中，，所以，

同理，可得.

因为，所以平面，

又平面，所以.

（2）又（1）可得平面，

因为四边形为平行四边形，所以平面，所以,

又，为的中点，所以，

又，所以平面.

连接，则

所以四面体体积为.

考点：（1）线线垂直的判定；（2）几何体的表面积、体积.