Question

已知函数.

（1）求函数的极值；

（2）若，试讨论关于的方程的解的个数，并说明理由.

Answer

（1）当时，函数无极值，当时，函数有极小值，无极大值；

（2）方程有唯一解.

【解析】

试题分析：（1）求出函数定义域，求导，令.利用导函数的符号，判断函数的单调性，求

出函数的极值；（2）令，对其求导，分为和两种情形，根据导数与的关系，判断函数的单调性，根据其大致图象得到其与轴的交点分数，故而得到方程解的个数.

试题解析：（1）依题意得，，，

当时，，故函数在上单调递增，无极值；

当时，，

令，得，函数单调递减，

令，得，函数单调递增，

故函数有极小值.

综上所述，当时，函数无极值；当时，函数有极小值，无极大值.

（2）令，，问题等价于求函数的零点个数.

易得.

①若，则，函数为减函数，

注意到，，所以有唯一零点；

②若，则当或时，，当时，，

所以函数在和上单调递减，在上单调递增，

注意到，，所以有唯一零点.

综上，若，函数有唯一零点，即方程有唯一解.

考点：（1）利用导数研究函数的极值；（2）函数零点个数的判断.

【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值，以及函数零点个数的判断，属于难题.利用导数求函数的极值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③求方程的所有实数根；④解不等式和，根据单调性确定极值；方程的解即为相对应函数的图象与交点的个数，利用导数判断其单调性，根据其图象的大致形状确定与交点的个数.