Question

已知函数是自然对数的底数.

（1）讨论函数在上的单调性；

（2）当时，若存在，使得，求实数的取值范围.（参考公式：）

Answer

（1）在上单调递增；（2）.

【解析】

试题分析：（1）求导数，利用导数的正负，分为和，可求函数单调区间；（2）的最大值减去的最小值大于或等于，由单调性知，的最大值是或，最小值，由的单调性，判断与的大小关系，再由的最大值减去最小值大于或等于求出的取值范围.

试题解析：（1）.

当时，，当时，，∴，

所以，故函数在上单调递增；

当时，，当时，，∴，

所以，故函数在上单调递增，

综上，在上单调递增，

（2），因为存在，使得，所以当时，.

，

①当时，由，可知，∴；

②当时，由，可知，∴；

③当时，，∴在上递减，在上递增，

∴当时，，

而，

设，因为（当时取等号），

∴在上单调递增，而，

∴当时，，∴当时，，

∴，

∴，∴，即，

设，则，

∴函数在上为增函数，∴，

既的取值范围是.

考点：（1）利用导数研究函数的单调性；（2）导数在最大、最小值问题中的应用.