Question

某软件公司新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏.为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币（一种网络虚拟币）.该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励40慧币；第二种，闯过第一关奖励40慧币，以后每一关比前一关多奖励4慧币；第三种，闯过第一关奖励慧币，以后每一关比前一关奖励翻一番（即增加1倍）.游戏规定：闯关者须于闯关前任选一种奖励方案.

（1）设闯过关后三种奖励方案获得的慧币总数依次为，试求出的表达式；

（2）如果你是一名闯关者，为了得到更多的慧币，你应如何选择奖励方案？

Answer

（1），，；（2）若我是一名闯关者，当你能冲过的关数小于时，应选用第一种奖励方案；当你能冲过的关数大于等于时，应选用第三种奖励方案.

【解析】

试题分析：（1）第一种奖励方案闯过各关所得慧币构成常数列，且各项均为，由此能求出；第二种奖励方案闯过各项各关所得慧币构成首项是，公差也为的等差数列，由此能求出的表达式；第三种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是，公比为的等比数列，由此能求出的表达式；（2）令，即，解得.由，知恒成立.令，即，解得.故当时，最大；当时，.由此能够选出最佳的选择奖励方案.

试题解析：（1）第一种奖励方案闯过各关所得慧币构成常数列，∴，第二种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是，公差也为的等差数列，∴，

第三种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是，公比为的等比数列，

∴.

（2）令，即，解得，

∵且，∴恒成立，

令，即，当时，该不等式显然成立，当时，

，而当时，，

不等式成立，同样可计算得当时，成立.

∴当时，最大；当时，最大.

综上，若我是一名闯关者，当你能冲过的关数小于时，应选用第一种奖励方案；当你能冲过的关数大于等于时，应选用第三种奖励方案.

考点：数列的应用.