Question

如图，在梯形中，，四边形为矩形，平面平面.

（1）求证：平面；

（2）点在线段上运动，设平面与平面所成二面角为，试求的取值范围.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）证明线面垂直可以利用面面垂直进行证明，即若两个平面垂直并且其中一个平面内的一条直线与两个平面的交线操作时则直线与另一个平面垂直，即可证明线面垂直；（2）建立空间坐标系，根据坐标表示出两个平面的法向量，结合向量的有关运算求出二面角的余弦的表达式，再利用函数的有关知识求出余弦的范围.

试题解析：（1）证明：在梯形中，因为，所以，所以，

所以，所以.

因为平面平面，平面平面，

平面，所以平面.

（2）由（1）可建立分别以直线为轴，轴，轴的如图所示的空间直角坐标系，

令，则，

∴，

设为平面的一个法向量，

由得，取，则，

∵是平面的一个法向量.

∴.

∵，∴当时，有最小值，当时，有最大值.

∴.

考点：（1）直线与平面垂直的判定；（2）二面角的平面角及其求法；（3）空间向量求平面的夹角.

【一题多解】对于（2）还可采用由：①当与重合时，.②当与重合时，过作，且使，连接，，则平面平面，∵，，∴平面，∴平面，∴，∴，∴.③当与，都不重合时，令，延长交的延长线于，连接，∴在平面与平面的交线上，∵在平面与平面的交线上，∴平面平面，过作交于，连接， 由（1）知，，又∵，∴平面，∴，又∵，，∴平面，∴，∴，在中，，从而在中，，∵，∴， ∴，∵， ∴，综上所述，.