Question

已知函数，其中．

（1）若和在区间上具有时间的单调性，求实数的取值范围；

（2）若，且函数的最小值为，求的最小值．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）因为,在上恒成立,即在上单调递减,所以,且单调递增,比较与端点的大小关系,即时,,不合题意；即时,在上单调递减,在上单调递增,又在上单调递减,所以解得；（2）,令,通过参变分离构造新函数,可判断出在时,,所以的单调性与的正负有关,因此在单减,单增,所以,通过求导可求得最小值.

试题解析：【解析】
（1），

∵在上恒成立，即在上单调递减，

当时，，即在上单调递增，不合题意

当时，由，得，由，得，

∴的单调减区间为，单调增区间为

∵和在区间上具有相同的单调性，

∴，解得，

综上，的取值范围是

（2），

由得到，设，

当时，；当时，，

从而在上递减，在上递增，∴

当时，，即，

在上，递减；

在上，递增，∴，

设，

在上递减，∴，

∴的最小值为0．

考点：导数的应用.

【方法点晴】本题考查学生的是函数的单调性与最值,属于难题.第一问给出两个函数的单调性相同,因为,可先判断函数的单调性为单减,因此需要保证在上单减,求导对导函数等于的根是否落在区间内分三类讨论,得出符合题意的的范围;第二问求函数的最小值, 且,所以只需判断的正负得出单调性以及最值.