选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数）.
（1）求曲线的普通方程；
（2）经过点
（平面直角坐标系中点）作直线
交曲线于
，
两点，若
恰好为线段
的三等分点，求直线的斜率.
已知函数
，曲线在点
处的切线与直线
垂直.
注：
为自然对数的底数.
（1）若函数
在区间
上存在极值，求实数
的取值范围；
（2）求证：当
时，
.
已知点
是椭圆
上任意一点，点到直线
:
的距离为
，到点
的距离为
，且
，直线
与椭圆交于不同两点
、
（、都在
轴上方），且
.
（1）求椭圆的方程；
（2）当为椭圆与
轴正半轴的交点时，求直线方程；
（3）对于动直线，是否存在一个定点，无论
如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.
如图，在三棱柱
中，
是
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）若
，求证
.
《中国好声音（
）》是由浙江卫视联合星空传媒旗下灿星制作强力打造的大型励志专业音乐评论节目，于2012年7月13日在浙江卫视播出.每期节目有四位导师参加.导师背对歌手，当每位参赛选手演唱完之前有导师为其转身，则该选手可以选择加入为其转身的导师的团队中接受指导训练.已知某期《中国好声音》中，6位选手唱完后，四位导师为其转身的情况如下表所示：
导师转身人数（人） | 4 | 3 | 2 | 1 |
获得相应导师转身的选手人数（人） | 1 | 2 | 2 | 1 |
现从这6位选手中随机抽取两人考查他们演唱完后导师的转身情况.
（1）请列出所有的基本事件；
（2）求两人中恰好其中一位为其转身的导师不少于3人，而另一人为其转身的导师不多于2人的概率.
已知各项均不相等的等差数列
的前五项和
，且
，
，
成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若
为数列
的前
项和，且存在
，使得
成立，求实数
的取值范围.
