Question

已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直.

注：为自然对数的底数.

（1）若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；

（2）求证：当时，.

Answer

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）首先利用切线的斜率建立方程，求出；利用导数求得函数的极值点，极值点介于之间，由此求得的取值范围；（2）先用分析法，将原不等式等价变形为，利用导数求出左边函数的最小值和右边函数的最大值即可证得原不等式成立.

试题解析：

（1） 因为，所以

又据题意，得，所以，所以

所以，

所以

当时，，为增函数；

当时，，为减函数.

所以函数仅当时，取得极值

又函数在区间上存在极值，所以，所以.

故实数的取值范围是

（2）当时，，即为.

令，则.

再令，则.

又因为，所以.

所以在上是增函数.

又因为.

所以当时，.

所以在区间上是增函数.

所以当时，，又，故

令，则.

因为，所以.

所以当时，.故函数在区间上是减函数.

又，

所以当时，，

所以，即.

考点：函数导数与.

【方法点晴】本题考查函数导数与单调性.第一问涉及到切线的问题，关键点就是把握住切点和斜率.证明不等式，通过恒等变形后，可利用导数，分别求出左边函数的最小值和右边函数的最大值，由此证得结论.如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理.