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已知函数(). (1)若曲线在点处与直线相切,求的值; (2)若函数有两个零点,...

已知函数.

(1)若曲线在点处与直线相切,求的值;

(2)若函数有两个零点,试判断的符号,并证明.

 

(1);(2)当时,,当时,,证明见解析. 【解析】 试题分析:(1)利用函数在的导数等于,求得;(2)时,,为二次函数,两个零点为,,在两个零点中点处为二次函数的顶点,导数;当时,不妨设,,,化简的表达式为的函数式,利用导数求得这个表达式的取值范围,由此判断的正负. 试题解析: (1),又∵. 所以. (2)函数的定义域是. 若,则. 令,则. 又据题设分析知, ∴,. 又有两个零点,且都大于0, ∴,不成立. 据题设知 不妨设,, 所以. 所以. 又, 所以 引入(),则. 所以在上单调递减. 而,所以当时,. 易知,, 所以当时,;当时,. 考点:函数导数与不等式. 【方法点晴】第一问考查导数与切线的问题,切线问题的关键点是切点和斜率,由题可知,切点的横坐标是,代入导数,可求得.第二问考查函数零点中点的导函数的值.先对分成和两类进行讨论,第一类是二次函数,零点的中点恰好是极值点,故导数为零;第二类求出表达式后,利用换元法和导数来讨论.  
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考点分析:
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