Question

如图，在三棱柱中，为的重心，.

（1）求证：平面；

（2）若侧面底面，，，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）连接，并延长，交于点，过作，交于点，分别连接，.为是的重心，所以，又，所以，所以，从而平面；（2）以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量，计算得线面角的正弦值为.

试题解析：

（1）连接，并延长，交于点，过作，交于点，分别连接，.因为是的重心，所以.

又，所以.

又据三棱柱性质知，

所以.

又因为,，

所以.

又,,，

所以.

又因为，，

所以平面平面

又因为，

所以平面

（2）连结.

因为,,,

所以，

所以,所以.

因为侧面底面，侧面底面，，

所以平面.

因为，，所以是等边三角形，

所以.

以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，，，，

所以.

设平面的一个法向量为，则

所以

令，得，

所以.

所以.即直线与平面所成角的正弦值为.

考点：空间向量与立体几何.