Question

已知三棱柱中，平面⊥平面，⊥，．

（1）求证：⊥平面；

（2）求平面与平面所成二面角的余弦值．

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据面面垂直的性质定理，由平面⊥平面有⊥平面，所以⊥，，所以四边形是菱形，因此⊥，所以⊥平面；（2）由（1）知，⊥平面，利用几何法，作出二面角的平面角为，解三角形求得其余弦值为.

试题解析：

（1）由于平面⊥平面，⊥，所以⊥平面，所以⊥，

而，所以四边形是菱形，因此⊥，所以⊥平面．

（2）设，作⊥于，连接，

由（1）知⊥平面，即⊥平面，所以⊥，

又⊥于，因此⊥，

所以为两平面所成锐二面角的平面角，

在中，，，故直角边，

又因为中，因此中斜边，

所以，

所以所求两平面所成锐二面角的余弦值为．

考点：空间向量与立体几何.

【方法点晴】求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．本题采用的是传统的几何法来完成，几何法来求面面角，格式是“作角——证角——求角”也就是先利用平面的垂线，利用二面角的定义作出二面角的平面角，然后解三角形求得其余弦值.