Question

如图，在三棱柱中，四边形为矩形，，，为的中点，与交于点，⊥．

（1）证明：⊥；

（2）若，求与平面所成角的正弦值．

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由已知得，所以，故，由此求得，即，而已知⊥，所以⊥平面，从而⊥；（2）以分别为轴建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量计算得所成角的正弦值为.

试题解析：

（1）证明：由已知得，

∴，

∴，∴，

∴在△中，，即，

令⊥，，∴⊥平面，平面，

∴．

（2）在中，，，∴，

在中，得，∴，

即⊥，∴⊥平面，

建立空间直角坐标系，设与平面所成的角为，

∵，，，，

设平面的法向量为，解得．

,

∴，即与平面所成角的正弦值为．

考点：空间向量与立体几何.

【方法点晴】空间的角是高考必考考点，一般以大题的条件或一小问形式呈现，考查用向量方法解决立体几何问题，将空间几何元素之间的位置关系转化为数量关系，并通过计算解决立体几何的能力．距离问题较少单独考查，一般在有关面积、体积的计算中间接考查．利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角.