Question

已知点是离心率为的椭圆：上的一点.斜率为的直线交椭圆于两点，且三点不重合.

（1）求椭圆的方程；

（2）面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？

（3）求证：直线、直线的斜率之和为定值.

Answer

（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）由在椭圆上及椭圆的离心率为列方程组，求出的值，即可得到椭圆的方程；（2）直线方程为，与椭圆方程联立得，根据弦长公式、点到直线距离公式可得面积为，利用基本不等式求最值即可；（3）根据两点求斜率公式可得，再根据韦达定理可得.

试题解析：(1)∵，，，

∴，∴.

(2)设直线方程为，∴

∴，则，……①，……②

∵，

设为点到直线的距离，∴，∴，当且仅当时，的面积最大，最大值为.

（3）设，，

，将（2）中①②式代入整理得

，即.

考点：1、待定系数法求椭圆方程；2、弦长公式、点到直线距离公式及基本不等式求最值.

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程、弦长公式、点到直线距离公式及基本不等式求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调法以及均值不等式法，本题（２）就是用的这种思路，利用均值不等式法求的面积最大值的.