Question

如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，且平面平面，为棱的中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的大小；

（3）求点到平面的距离.

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）由是正三角形可得，再由面面垂直的性质定理可得平面；（2）以为原点，以为轴、为轴，建立空间坐标系，分别求出平面的一个法向量及平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果；（3）先求得，利用（2）的结论，根据点到面的距离公式求解即可.

试题解析：(1)证明：∵是正三角形，是中点，∴

∵平面平面，∴平面.

（2）以为原点，以为轴，如图建系，描点，，，，，

∴，，

设平面的法向量为，

则，∴，

又∵平面，∴平面的一个法向量为，

∴.

∴二面角的大小为.

（3），∴，∴点到平面的距离为.

考点：1、面面垂直的性质定理；2、利用空间向量夹角余弦公式.