Question

已知函数，其中为常数，为自然对数的底数．

（1）当时，求的最大值；

（2）若在区间上的最大值为，求的值．

Answer

（1）的最大值为．（2）的值为．

【解析】

试题分析：（1）时，，定义域为．求导得，列表讨论当变化时，，变化情况，可得的最大值；（2）求导得,分和两种情况讨论，当时不符合题意；当时，分和讨论可得到的值

试题解析：（1）当时，，定义域为．

求导得，

令，得，

当变化时，，变化情况如下：

1

由表可知的最大值为．

（2）求导得．

①当时，恒成立，此时在上单调递增，最大值为，解得，不符合要求；

②当时，令，得，

若，此时在上恒成立，此时在w上单调递增，最大值为，解得，不符合要求；

若，此时在上成立，在上成立，此时在上先增后减，最大值为，解得，符合要求．

综上可知，的值为．

考点：利用导数研究函数的性质

【名师点睛】本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，分类讨论思想，属中档题．课题是合理运用分类讨论思想准确把握导数在研究函数中的应用是解题的关键