Question

设函数（，，，）的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数．若函数满足下列条件：①；②对一切实数，不等式恒成立．

（1）求函数的表达式；

（2）设函数（）的两个极值点，（）恰为的零点．当时，求的最小值．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）借助题设条件运用导数及二次函数的有关知识求解；（2）借助题设构设函数运用导数的有关知识探求.

试题解析：

（1）由已知可得，

∵函数为偶函数，

∴，

即恒成立，

所以．

又，∴，，

又∵对一切实数，不等式恒成立，

∴恒成立，

∴

∴，∴．

（2）由（1）得，，

∴（），，

由题意得

又，

∴，解得，

∵，（）为的零点，

∴，，

两式相减得，，

又，从而，

设（），

则（）记为，

，

∴在上单调递减，

∴，

故的最小值为．

考点：二次函数导数的有关知识的综合运用.

【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数的函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问求解时借助二次函数的判别式及函数的奇偶性等知识建立方程和不等式获解；第二问则借助题设条件构造函数,再运用导数等知识进行分析推证,从而使得问题获解.