Question

如图，抛物线：与双曲线：（，）有公共焦点，点是曲线，在在第一象限的交点，且．

（1）求双曲线的方程；

（2）以为圆心的圆与双曲线的一条渐进线相切，圆．已知点，过点作互相垂直分别与圆、圆相交的直线和，设被圆解得的弦长为，被圆截得的弦长为．试探索是否为定值？请说明理由．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）借助题设条件运用双曲线的定义求解；（2）借助题设运用直线与圆的位置关系探求.

试题解析：

（1）∵抛物线：的焦点为，

∴双曲线的焦点为，，

设在抛物线：上，且，

由抛物线的定义得，∴，

∴，∴，

，

又∵点在双曲线上，由双曲线定义得，所以，

∴双曲线的方程为：．

（2）为定值.下面给出说明：

设圆的方程为，双曲线的渐近线方程为．

∵圆与渐近线相切，∴圆的半径为，

故圆：．

依题意、的斜率存在且均不为零，

所以设的方程为，即，

设的方程为，即，

∴点到直线的距离，点到直线的距离，

∴直线被圆截得的弦长，

直线被圆截得的弦长，

∴，故为定值．

考点：双曲线的标准方程及直线与圆的位置关系等知识的综合运用.

【易错点晴】本题是一道考查直线与双曲线的位置关系的综合性问题.解答本题的第一问时,直接依据题设条件和抛物线的定义和双曲线的定义分析推证,最终求出双曲线的标准方程为；第二问的求解过程中,先设的方程为，然后再借助其与双曲线的渐近线方程为的位置关系．圆与渐近线相切，求出圆的半径为,进而求得的值,从而使得问题获解.