Question

已知函数为偶函数，且．

（1）求的值，并确定的解析式；

（2）若(且)，求在上值域．

Answer

（1），；（2）当时，函数的值域为，当时，的值域为.

【解析】

试题分析：（1）因为，所以由幂函数的性质得，，解得，因为，所以或，验证后可知，；（2）由（1）知，函数在上单调递增，故按，两类，利用复合函数单调性来求函数的值域.

试题解析：

（1）因为，所以由幂函数的性质得，，解得，

因为，所以或，

当时，它不是偶函数；

当时，是偶函数；

所以，；

（2）由（1）知，

设，则，此时在上的值域，就是函数的值域；

当时，在区间上是增函数，所以；

当时，在区间上是减函数，所以；

所以当时，函数的值域为，当时，的值域为．

考点：幂函数单调性，复合函数值域.

【方法点晴】本题主要考查幂函数的单调性和复合函数单调性与值域的问题.根据题意，可以判断函数在上是单调递减的，所以幂函数的指数部分小于零，由此可以判断出可能的取值，然后逐一利用函数是偶函数来验证正确答案.第二问考查的是复合函数单调性，利用同增异减，可以快速判断函数的单调性，并由此求出最值.