Question

已知函数．

（1）当时，函数恒有定义，求实数的取值范围；

（2）是否存在这样的实数，使得函数在区间上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出的值；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）不存在，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据对数函数的定义，可知且，时，显然符合，时，由分离参数得，右边函数在上单调递减，故，故；（2）假设存在符合题设条件的实数，根据复合函数单调性可知，由（1）知，由的最大值为，与不符，故不存在.

试题解析：

（1）当时，由函数恒有定义知恒成立，即，

∴，又且，∴实数的取值范围为；

（2）假设存在符合题设条件的实数，则函数在区间上为减函数，且是减函数，

∴，又在上恒为正，则，故，由的最大值为，与不符，故不存在符合题设条件的实数．

考点：对数函数定义域与单调性.