Question

已知函数，且对任意实数都成立，若取到最小值时，有

（1）当，求；

（2）设，对任意的，都有，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）将的表达式等价变形，构造相应的函数即可求出当取到最小值时等号成立的条件，从而求解；（2）分析题意可知，问题等价于当时，有，对的取值分类讨论，从而求解.

试题解析（1）由恒成立，得，即，

记，设，则，

再设，则，

当时，取最小值，此时，∴当时，；

（2）对任意，，都有，即当时，有，，，，

①当时，即时，在上递减，

且，解得，无解，

②当，即时，要使，

只要，解得，∴，

③当，即时，要使，

只要，解得，∴，

④当，即时，在上递增，

且，∴，

综上，的取值范围为．

考点：1.导数的运用；2..分类讨论的数学思想；3.恒成立问题．

【思路点睛】解二次函数的综合应用问题时，要充分应用二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的密切关系，对所求问题进行等价转化，要注意的结构特点和，，的几何意义(可结合解析几何中的抛物线方程理解的几何意义)，注意一些特殊点的函数值，如，，等．