Question

已知椭圆的两个焦点分别为，，短轴的两个端点分别为，．

（1）若为等边三角形，求椭圆的方程；

（2）若椭圆的短轴为2，过点的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程．

Answer

（1）；（2）或.

【解析】

试题分析：（1）根据题意列出，，所满足的方程组，从而求解；（2）设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理结合向量数量积的坐标表示即可求解.

试题解析：（1）为等边三角形，则

：；（2）容易求得椭圆的方程为，

当直线的斜率不存在时，其方程为，不符合题意；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

由 得，设，，

则，，，，

∵，∴，即，

，解得，即，

故直线的方程为或.

考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系．

【思路点睛】对于圆锥曲线的综合问题，①要注意将曲线的定义性质化，找出定义赋予的条件；②要重视利用图形的几何性质解题(本书多处强调)；③要灵活运用韦达定理、弦长公式、斜率公式、中点公式、判别式等解题，巧妙运用“设而不求”、“整体代入”、“点差法”、“对称转换”等方法.