Question

已知椭圆的离心率为，以椭圆的一个短轴端点及两个焦点构成的三角形的面积为，圆C方程为.

（1）求椭圆及圆C的方程；

（2）过原点O作直线l与圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程.

Answer

（1）椭圆的方程，圆的方程为；（2）或.

【解析】

试题分析：（1）由离心率为可得，结合得，根据以椭圆的一个短轴端点及两个焦点为顶点的三角形面积为可得，从而求的，得到椭圆和圆的方程；（2）设出直线的方程，整理方程组，由判别式求出直线斜率的范围，韦达定理得到坐标的关系，根据向量数量积的坐标表示列出方程，求的斜率.

试题解析：（1）设椭圆的焦距为2c，左、右焦点分别为，由椭圆的离心率为可得，即，所以

以椭圆的一个短轴端点及两个焦点为顶点的三角形的面积为，即，

所以椭圆的方程，圆的方程为

（2）①当直线的斜率不存时，直线方程为，与圆C相切，不符合题意

②当直线的斜率存在时，设直线方程，

由可得，

由条件可得，即

设，，则，

而圆心C的坐标为（2，1）则，

所以，

即

所以解得或

或

考点：圆、椭圆的标准方程及其几何性质，直线与圆的位置关系.

【方法点睛】本题主要考查了圆、椭圆的标准方程及其几何性质，直线与圆的位置关系.，属于中档题.根据椭圆的离心率和三角形的面积列出的方程，求出椭圆和圆的方程；题中给出了直线与圆的两个交点与定点之间的关系，所以直线与圆的位置关系采用方程法处理，转化为研究它们交点坐标的关系，通过平面向量的数量积运算求解.