Question

在如图所示的空间几何体中，平面平面，与都是边长为2的等边三角形，，与平面所成的角为，且点E在平面上的射影落在的平分线上.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）取的中点，连接，，可证得平面，作平面，那么，通过证明四边形是平行四边形，证得，由线面平行的判定定理证明；（2）以为坐标原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量和平面的法向量的夹角，即得二面角的余弦值.

试题解析：（1）由题意知、为边长2的等边 取的中点，连接，，

则，.又平面平面，平面，作平面，

那么，根据题意，点落在上，和平面所成的角为，， ，，四边形是平行四边形，.

平面ABC，平面， 平面.

（2）建立空间直角坐标系，则，，，

平面的一个法向量为

设平面的法向量 则

取，

，又由图知，所求二面角的平面角是锐角，二面角的余弦值为.

考点：空间中直线与平面的平行于垂直关系、二面角.