Question

已知曲线C上任意一点M满足|MF₁|+|MF₂|=4，其中F₁（，F₂（，

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）已知直线与曲线C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用曲线C上任意一点M满足|MF1|+|MF2|=4，其中，求出几何量，即可得到椭圆的方程；（Ⅱ）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理，及，即可求得结论

试题解析：（Ⅰ）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得a=2，c=，

所以b2=a2﹣c2=4﹣3=1，

故所求椭圆C的方程为．

（Ⅱ）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．

理由如下：

设点A（x1，y1），B（x2，y2），

将直线方程代入整理得

，因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O

所以，即．

又，

于是，解得，

经检验知：此时（*）式的△＞0，符合题意．

所以当时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．

考点：轨迹方程及直线与椭圆相交的综合应用