Question

设点是双曲线（＞0，＞0）上一点，分别是双曲线的左、右焦点，为△的内心，若，则该双曲线的离心率是_______

Answer

2

【解析】

试题分析：如图，

设圆I与△PF1F2的三边F1F2，PF1，PF2分别相切于点E，F，G，

连接IE，IF，IG，则IE⊥F1F2，IF⊥PF1，IG⊥PF2，

它们分别是△IF1F2，△IPF1，△IPF2的高，

∴S△IPF1＝×|PF1|×IF＝|PF1|，S△IPF2＝×|PF2|×IG＝|PF2|，S△I F2 F1＝×| F2 F1|×IE＝| F2F1|，其中r是△PF1 F2的内切圆的半径．

∵S△IP F1＝S△IP F2+ S△I F1 F2，∴|P F1|＝|P F2|+ | F1 F2|，

两边约去得：|P F1|＝|P F2|+ | F1 F2|，

根据双曲线定义，得|P F1|−|PF2|＝2a，| F1 F2|＝c，

∴2a=c，所以离心率为

考点：双曲线的简单性质