Question

如图，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过且于轴垂直的直线与椭圆交于，，与抛物线交于两点，且.

（I）求椭圆的标准方程；

（II）设为椭圆上一点，若过点的直线与椭圆相交于不同两点和，且满足（为坐标原点），求实数的取值范围.

Answer

（I）；（II）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由焦点，根据，所以，由此能求出椭圆方程；（Ⅱ）设过的直线为，与椭圆方程联立，得，设，，，由，得，由此结合题设条件能求出实数的取值范围.

试题解析：（I）设椭圆标准方程，由题意，抛物线的焦点为，.

因为，所以.

又，，，又，∴，.

所以椭圆的标准方程.

（II）由题意，直线的斜率存在，设直线的方程为.

由消去，得.

设，，，则是方程的两根，

所以，即，①

且，由，得.

若，则点与原点重合，与题意不符，故.

.

因为点在椭圆上，所以，

，

.

再由①得，又，

∴.

考点：（1）椭圆的应用；（2）椭圆的简单性质.

【方法点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用，综合性较强，计算量较大，属于难题；已知直线上一点讲直线设为点斜式，直线与椭圆相交，联立直线的方程和椭圆的方程构成方程组，运用韦达定理以及设而不求整体代换的思想，根据得到的范围，将向量关系转化为坐标，运用点在椭圆上代入椭圆方程，在该题中容易忽视.