Question

已知，，其中均为实数.

（I）求的极值；

（II）设，，求证：对，恒成立.

（III）设，若对给定的，在区间上总存在使得成立，求的取值范围.

Answer

（I）极大值，无极小值；（II）证明见解析；（III）.

【解析】

试题分析：（I）求出函数的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性，然后求解极值；（II）通过，，化简，利用函数的单调性，转化原不等式转化，构造函数，利用新函数的导数的单调性，证不等式成立；（III）由（1）得的最大值，求出函数的导数，判断，不满足题意；当时，要使得，的极值点必在区间内，求出的范围，当，利用在上的值域包含于在和上的值域，推出关系式，通过构造函数，通过导数求解函数的最值，然后推出.

试题解析：（I）∵，∴，∴，，∴极大值，无极小值；

（II）∵，，

∴，在上是增函数.

∴，在上是增函数.

设，则原不等式转化为，

即.

令，

即证，，即在，

∵在恒成立，

即在，即所证不等式成立.

（III）由（I）得在，，，

所以.

又，当时，，在，不符合题意.

当时，要使得，

那么由题意知的极值点必在区间内，即.

得，且函数在，，

由题意得在上的值域包含于在和上的值域.

∴内，.

下面证时，，取，先证，即证.

令，∴，在内恒成立.

∴，∴，∴.

再证，∵，∴.

考点：（1）利用导数研究函数的极值；（2）导数在最值中的应用.