Question

已知函数，.

（I）求证：在区间上单调递增；

（II）若，函数在区间上的最大值为，求的试题分析式.并判断是否有最大值和最小值，请说明理由（参考数据：）

Answer

（I）证明见解析；（II）有最小值，没有最大值.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求出的导数，设，求出的导数，运用单调性即可得证；（Ⅱ）求出的导数，求得单调区间，极值和当时，时的最大值，结合零点存在定理，以及函数的单调性即可判断有最小值，没有最大值.

试题解析：（I）证明：∵，

∴，

设，则，

∴当时，，∴在区间上单调递增.

∵，

∴当时，.

∴在区间上单调递增.

（II）∵，

∴的定义域是，且，即.

∵，∴，

当变化时，、变化情况如下表：

∴当时，，在区间上的最大值是.

当时，在区间上的最大值为.

即.

（1）当时，.

由（I）知，在上单调递增.

又，，

∴存在唯一，使得，且当时，，单调递减，当时，，单调递增.

∴当时，有最小值.

（2）当时，，

∴在单调递增.

又，

∴当时，.

∴在上单调递增.

综合（1）（2）及试题分析式可知，有最小值，没有最大值.

考点：（1）利用导数研究函数的单调性；（2）导数在最大值、最小值的应用.

【方法点睛】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查函数的单调性的运用和零点存在定理的运用，考查分类讨论的思想方法，属于中档题.要证在递增，即证在上恒成立，

等价于恒成立，令，利用与的关系，得到的单调性得其最小值；判断函数在闭区间内的最值，主要根据在该区间内的单调性，根据导函数的零点与区间端点的关系进行讨论.