Question

设函数的定义域为，如果存在正实数，对于任意，都有，且恒成立，则称函数为上的“型增函数”，已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，若为上的“2015型增函数”，则实数的取值范围是____________.

Answer

【解析】

试题分析：∵是定义在上的奇函数，且当时，，∴，又为上的“型增函数”，（1）当时，由定义有，即，其几何意义为到点小于到点的距离，由于故可知得，当时，①若，则有，即，其几何意义表示到点的距离小于到点的距离，由于，故可得，得；②若，则有，即，其几何意义表示到到点的距离与到点的距离的和大于，（2）当时，显然成立，当时，由于，故有，必有，解得，综上，对都成立的实数的取值范围是，故答案为：.

考点：函数奇偶性的性质.

【方法点晴】本题考察了函数的奇偶性，考察新定义问题，根据绝对值的几何意义得到不等式是解答本题的关键，本题是一道中档题.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题中主要围绕存在正实数，对于任意，都有，且恒成立，根据题意进行分类讨论.