Question

已知命题抛物线的焦点在椭圆上.命题直线经过抛物线的焦点，且直线过椭圆的左焦点，是真命题.

（I）求直线的方程；

（II）直线与抛物线相交于、，直线、，分别切抛物线于，求的交点的坐标.

Answer

（I）；（II）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）通过将抛物线的焦点代入椭圆得，进而椭圆的左焦点是，计算即得结论；（Ⅱ）不妨假定点在第二象限，通过联立直线与椭圆方程可知、点坐标，利用对抛物线方程求导可知斜率，进而计算可得结论.

试题解析：（I）抛物线的焦点为，

∵是真命题，∴将代入得，.

∴椭圆方程是，它的左焦点是.

∴直线的方程是.

（II）不妨假定点在第二象限，由方程组得，.

由得，，所以直线的斜率分别是、，

∴的方程分别是，

.

解两个方程构成的方程组得.

考点：直线与圆锥曲线的综合问题.