Question

已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）时, 有恒成立, 求整数最小值.

Answer

（1） 上递增，在递减；（2）.

【解析】

试题分析：（1）求出原函数的导函数，可得时，，在上单调递增；当时，求出导函数的零点，由函数零点对定义域分段，结合导函数的符号可得原函数的单调区间；（2）当时，由，得，分离参数，得在上恒成立.构造函数，两次求导可得.由此求得整数的最小值为.

试题解析：（1）定义域为,时, 在

上单调递减；时, 令 , 得(舍去负的). 上递增,

在递减.

（2）时,,

在上恒成立, 令,则.

令在递减, 且时, , 时, ,因此在必存在唯一零点, 不妨设,即,

当时, 单调递增；当时, 单调递减；因此,

,即,依题意有,

即整数的最小值为.

考点：（1）利用导数求闭区间上函数的最值；（2）利用导数研究函数的单调性.