Question

（附加题）对于函数f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，则称x₀为f（x）的一个不动点．设函数f（x）=ax²+bx+1（a＞0）．

（Ⅰ）当a=2，b=﹣2时，求f（x）的不动点；

（Ⅱ）若f（x）有两个相异的不动点x₁，x₂，

（ⅰ）当x₁＜1＜x₂时，设f（x）的对称轴为直线x=m，求证：m＞；

（ⅱ）若|x₁|＜2且|x₁﹣x₂|=2，求实数b的取值范围．

Answer

（I）不动点为；（II）（i）详见解析，（ii）。

【解析】

试题分析：（I）当时，，则由不动点的定义可有：，即，解得：或，所以函数的不动点为；（II）（i）函数的对称轴为，若有两个相异的不动点，即方程恒有两个不等的实根，设函数，当时，有，即，由于，所以，则，即，问题得证；（ii）方程恒有两个不等的实根，则应满足，根据韦达定理有：，于是有，整理得：，所以，由于且，因此说明到对称轴，且，即，所以得到，于是整理得到关于的一元二次不等式，所以可以求出的取值范围。

试题解析：（Ⅰ）依题意：f（x）=2x2﹣2x+1=x，即2x2﹣3x+1=0，

解得或1，即f（x）的不动点为和1；

（Ⅱ）（ⅰ） 由f （x）表达式得m=﹣，

∵g（x）=f （x）﹣x=a x2+（b﹣1）x+1，a＞0，

由x1，x2是方程f （x）=x的两相异根，且x1＜1＜x2，

∴g（1）＜0⇒a+b＜0⇒﹣＞1⇒﹣＞，即 m＞．

（ⅱ）△=（b﹣1）2﹣4a＞0⇒（b﹣1）2＞4a，

x1+x2=，x1x2=，

∴|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=（）2﹣=22，

∴（b﹣1）2=4a+4a2（*）

又|x1﹣x2|=2，

∴x1、x2 到 g（x） 对称轴 x=的距离都为1，

要使g（x）=0 有一根属于 （﹣2，2），

则 g（x） 对称轴 x=∈（﹣3，3），

∴﹣3＜＜3⇒a＞|b﹣1|，

把代入 （*） 得：（b﹣1）2＞|b﹣1|+（b﹣1）2，

解得：b＜或 b＞，

∴b 的取值范围是：（﹣∞，）∪（ ，+∞）．

考点：1.函数的不动点；2.二次函数的综合应用。