Question

选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，圆的参数方程为为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.

（1）求圆的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）设直线与轴，轴分别交于两点，点是圆上任一点，求两点的极坐标和面积的最小值.

Answer

（1） ,；（2）,.

【解析】

试题分析：（1）把曲线的参数方程移项，根据同角三角函数的基本关系消去参数即可求得圆的普通方程，利用两角和的余弦公式展开，由即可得到直线的直角坐标方程；（2）轴负半轴上的点对应的极角为，轴正半轴上的点对应的极角为，由此可得两点的极坐标，由直线的参数方程得到点的参数表达式，由点到直线的距离公式及三角恒等变换得到面积的表达式，即可求得最值.

试题解析：（1）由消去参数，得，

所以圆的普通方程为.

由，得，

所以直线的直角坐标方程为.

（2）直线与轴，轴的交点为，化为极坐标为，

设点的坐标为，则点到直线的距离为

，

∴，又，

所以面积的最小值是.

考点：圆的参数方程与普通方程、直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程的应用.