Question

设，已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）设，若，有，求实数的取值范围.

Answer

（1）递增区间为，递减区间为；（2）.

【解析】

试题分析：（1）求出函数的导函数，通过讨论的符号，分别解不等式即可求得函数的单调区间；（2），有解，可分离参数转化为在有解，求出右边函数的最大值即可得到实数的取值范围.

试题解析：（1），

时，，，得，，得；

时，，得或，，得；

时，，得，，得或；

综上所述：时，的单调递增区间为，单调递减区间为.

时，的单调递增区间为，，单调递减区间为.

时，的单调递增区间为，单调递减区间为，.

（2）依题意，，等价于不等式在有解.

令，则，

所以在区间上是减函数，所以的最大值为，

所以，即实数的取值范围为.

考点：利用导数研究函数的单调性及不等式在给定区间上的有解问题．

【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及不等式在给定区间上的有解问题，考查了分类讨论，转化的数学思想，属于中档题.研究函数的单调性就是解不等式（），通过讨论的符号，比较出根的大小，即可求得单调区间；（2）研究不等式在某区间上有解问题，直接研究相对复杂，应该优先考虑分离参数，把问题转化为研究函数在某区间上的单调性和最值来求解.