Question

已知焦点在轴的椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且过点.

（1）求椭圆方程；

（2）若直线与椭圆交于不同的两点，点，有，求的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据双曲线离心率求得椭圆离心率，即得的关系，根据用表示出，即可设出椭圆方程，把点代入即可求得椭圆方程；（2）说明点在线段的垂直平分线上，根据整理方程组，由建立不等式，由韦达定理求得的中点坐标，可得垂直平分线方程，把中点坐标代入垂直平分线方程即可建立的关系，代入即可求得的范围.

试题解析：（1）双曲线，即的离心率为.由题意可得，椭圆的离心率，设椭圆方程为，∴椭圆方程为.又点在椭圆上，∴，∴椭圆的方程为.

（2）设，由，消去并整理得，

∵直线与椭圆有两个交点，，即，

又，∴中点的坐标为，即为，所以在的垂直平分线上，设的垂直平分线方程：，∵在上，

∴，得，

将上式代入①式得，即或，

∴的取值范围为.

考点：椭圆方程、直线与椭圆的位置关系.

【方法点晴】本题主要考查了椭圆的几何性质、椭圆方程及直线与椭圆的位置关系，考查了转化的思想和学生的运算能力，属于中档题.求椭圆方程基本方法是待定系数法，相对容易，本题的难点是利用方程研究满足条件的直线与椭圆的位置关系，解答的关键是把条件转化为点在线段的垂直平分线上，由此建立参数间的关系，进行消元，最终通过解不等式求出参数范围.