Question

已知函数.

（1）当时，若在区间上的最小值为，求的取值范围；

（2）若对任意，且恒成立，求的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）求出的零点，通过讨论与区间的关系，得到其单调性，找到最小值点，求出最小值，即得的取值范围；（2）根据可构造函数，题中的条件本质上就是给出了函数在单调递增，求参数的范围，即在上恒成立，分类讨论即可.

试题解析：

（1）函数的定义域是.当时，

，

令，得，所以或.

当，即时，在上单调递增，所以在上的最小值是；

当时，在上的最小值是，不合题意；

当时，在上单调递减，所以在上的最小值是，不合题意，

综上：.

（2）设，即，

只要在上单调递增即可，而，

当时，，此时在上单调递增；

当时，只需在上恒成立，因为，只要，

则需要，对于函数，过定点，对称轴，只需，

即，综上，.

考点：利用导数研究函数的单调性和给定区间上的最值及函数的恒成立．

【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和给定区间上的最值及函数的恒成立，考查了分类讨论的数学思想和转化的数学思想，属于中档题.本题（1）中，求函数在给定区间上最值，通过比较两个极值点的大小得到其单调性，判断出最小值点，验证是否符合题意；（2）根据的形式构造函数，也就是函数在上单调递增，即恒成立，分别讨论及两种情况，求出的范围即可.