Question

如图，设椭圆的中心为原点，长轴在轴上，上顶点为，左、右焦点分别为，线段的中点分别为，且是面积为的直角三角形.

（1）求该椭圆的离心率和标准方程；

（2）过作直线交椭圆于两点，使，求的面积.

Answer

（1），；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据是面积为的直角三角形，，可知为直角，从而，即，又，消去即得离心率，可得，从而求得椭圆方程；（2）设直线的方程为，代入椭圆方程可得，根据韦达定理，可得，写出的坐标，由于，据此可求得的值，因为的面积，所以求出即得的面积.

试题解析：（1）设椭圆的方程为，，∵是面积为的直角三角形，，∴为直角，从而，得，∵

，在中，，∴，∵

，∴椭圆标准方程为.

（2）由（1）知，由题意，直线的倾斜角不为，故可设直线的方程为，代入椭圆方程，消元可得，①

设，∵，

∴，∵，∴，∴，当时，①可化为，

∴，

∴的面积.

考点：椭圆的标准方程与几何性质及直线与椭圆的位置关系.

【方法点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程与几何性质及直线与椭圆的位置关系，考查了方程的思想和运算能力，属于中档题.求椭圆的离心率通常根据条件求的一个关系即可，求椭圆方程通常采用待定系数法.研究圆锥曲线中三角形的面积时通常采用分割的方法把要求面积的三角形分成两个同底的三角形，根据韦达定理求，本题中，先根据向量的垂直关系求出参数的值，再求，这是圆锥曲线中最常见的题型之一.