Question

如图，四棱柱的底面是菱形，，底面，.

（1）证明：平面；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由底面可证，根据菱形性质可知，所以平面；（2）由（1）可知两两垂直，则以分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量，根据线面角是平面法向量和直线方向向量夹角的补角可求得直线与平面所成角的正弦值.

试题解析：（1）∵底面，平面，∴.

∵是菱形，∴.又，∴平面.

（2）由（1）知两两垂直，则以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.

∵，，∴，则

，，设平面的一个法向量为，由得，令，得，，所以，∵，∴直线与平面 所成角的正弦值为.

考点：空间中直线与平面垂直关系的证明及直线与平面所成的角.