Question

已知以点为圆心的圆过原点.

（1）设直线与圆交于点，若，求圆的方程；

（2）在（1）的条件下，设，且分别是直线和圆上的动点，求的最大值及此时点的坐标.

Answer

（1）；（2），.

【解析】

试题分析：（1），所以原点在的中垂线上.利用两条直线斜率乘积等于，解得或，经验证不符合题意，所以，圆的方程为；（2）在三角形中，两边之差小于第三边，故，又三点共线时最大，所以的最大值为.线的方程为与联立求得交点为.

试题解析：

（1）∵，所以，则原点在的中垂线上.

设的中点为，则，

∴三点共线.

∵直线的方程是，∴直线的斜率，解得或，

∴圆心为或，

∴圆的方程为或.

由于当圆方程为时，圆心到直线的距离，

此时不满足直线与圆相交，故舍去.

∴圆的方程为.

（2）在三角形中，两边之差小于第三边，故，

又三点共线时最大，

所以的最大值为.

∵，，∴直线的方程为，

∴直线与直线的交点的坐标为.

考点：直线与圆的位置关系.

【方法点晴】本题第一问考查了垂径定理，直径垂直弦，平分弦且平分弦所对的弧，所以有原点在的中垂线上，将垂直转化为两条直线斜率相乘等于，即可求得的值.第一问考查了最值问题，利用了三角形两边的差小于第三边，故三点共线时取得最大值，最后联立方程组求得交点的坐标，这考查了化归与转化的数学思想方法.