Question

（1）求证：函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.

（2）若，，利用上述性质，求函数的值域；

（3）对于（2）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得，求实数的值.

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）根据函数单调性定义，设是区间上任意两个不等是实数，且，则，，因为且，所以，即，所以函数在区间上单调递减，同理可证在区间上单调递增；（2）采用换元法，设，则，解得，因此可将函数转化为，，根据第（1）问可知：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，即函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，即可以求出函数的值域；（3）若对任意，总存在，使得，则只需满足当时，即的值域是的值域的子集，就可以求出的取值范围.

试题解析：（1）证明：设，任取且，，

显然，，，，∴，即该函数在上是减函数；

同理，对任意且，，即该函数在上是增函数；

（2）【解析】
，设，，，

则，.

由已知性质得，当，即时，单调递减，所以减区间为；同理可得增区间为

由，，，得的值域为.

（3）为减函数，故，.

由题意，的值域是的值域的子集，∴，

∴.

考点：1、函数的单调性；2、换元法；3、函数的值域.

【思路点睛】本题首先考查定义法证明“对勾函数”在区间上单调递减，在区间上单调递增，然后利用证得的单调性求具体函数的值域，同时也考查换元法在解题中的使用.另外本题还重点考查“任意”、“存在”问题的等价转化，考查学生化归转化思想在解题中的应用.