Question

已知各项均为正数的数列满足：，设．

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：；

（3）若数列满足（为非零常数），确定的取值范围，使时，都有．

Answer

（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）化简得到.利用累加法求得，，验证时也成立，故；（2）化简得，利用裂项求和法求得；（3）等价于，对恒成立，当为偶数时，对恒成立，，所以，当为奇数时，对恒成立，，所以，综上所述.

试题解析：

（1）∵，∴，

∴，

∴，

当时，也适合，

∴

（2），

∴.

（3）∵，∴，对恒成立。

即即，

即，∴，即，对恒成立，

当为偶数时，对恒成立，，∴，

当为奇数时，对恒成立，，∴，

又已知，∴且，∴范围是．

考点：递推数列求通项，数列求和，数列单调性.

【方法点晴】本题主要考查递推数列求通项，累加法，数列求和，数列单调性等知识.第一问题目给定一个比较复杂的已知条件，化简后得到表达式，根据这个表达式的形式，采用累加法求得.也就是说，先求得的通项公式，两边开方后得到的表达式.第二问采用的是放缩法，然后是用裂项求和法来求和.第三问证明不等式，利用恒成立问题分离参数法来解决，要注意分类讨论.