Question

已知数列的前项和为，其中为常数．

（1）证明：；

（2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由已知得，两式相减并化简得；（2）先利用特殊项为等差数列，求出.然后利用第一问的结论证明为等差数列.

试题解析：

（1）证明：由题设，两式相减得，由于，所以；

（2）由题设，可得，由（1）知，假设为等差数列，则成等差数列，∴，解得；下面证明 时，为等差数列，

由知，数列奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列，

令，则，∴，

数列偶数项构成的数列是首项为3，公差为4 的等差数列，

令，则，∴，

∴，

因此，存在，使得为等差数列．

考点：已知求.